О существовании общих интегралов специальной формы уравнения Абеля первого рода

Abstract

Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Получены два коэффициентных соотношения, при выполнении которых рассматриваемое уравнение имеет заданный общий интеграл. Существует редукция, позволяющая свести нелинейное уравнение второго порядка к уравнению Абеля первого рода. Для этого уравнения также приводятся коэффициентные соотношения, позволяющие построить его общий интеграл. Рассмотрены два примера, иллюстрирующие приводимую технику. Указана идея обобщения данного метода на дифференциальные уравнения более высоких порядков. The method of a general integral construction of the special form for the nonlinear differential equation of the second order is considered. Two coefficient conditions are obtained. When these conditions are true, the differential equation has the given general integral. There is a reduction, which allows transforming of the nonlinear equation of the second order into the Abel equation of the first kind. Similar coefficient conditions are also found for the Abel equation. Two examples which illustrate the given method are considered. The idea of generation of the given method on the differential equations of the higher orders is written. Розглядається метод побудови загального інтегралу спеціальної форми для нелінійного диференціального рівняння другого порядку. Отримані два коефіцієнтні співвідношення, при виконанні яких рівняння, що розглядається, має заданий загальний інтеграл. Існує редукція, яка дозволяє звести нелінійне рівняння другого порядку до рівняння Абеля першого роду. Для цього рівняння також наведені коефіцієнтні співвідношення, які дозволяють побудувати його загальний інтеграл. Розглядаються два приклади, що іллюструють наведену техніку. Вказана ідея узагальнення даного методу на диференціальні рівняння вищих порядків.