Екологічні проблеми як моделі квазіодновимірних задач дифузії

Abstract

Аварії під час морських перевезень та незаплановані викиди токсичних речовин традиційно перебувають в центрі уваги екологів та власників торгових суден. Катастрофи із розливом нафтопродуктів завдають значної шкоди довкіллю та вносять довгостроковий негативний фактор у розвиток біоти. Також відомо, що відпрацьовану токсичну речовину захоронюють у контейнерах підвищеної міцності на морському дні. Та все ж великий час їх перебування в морському середовищі (50-70 років) призводить до окислення та руйнування оболонки, спричиняючи виникнення тріщин, через які речовина просочується у воду. В роботі здійснена комп’ютерна симуляція поширення викидів речовин у морській воді, розглянувши відповідні моделі як квазіодновимірні задачі дифузії. Використавши центральну точкову симетрію, функція концентрації речовини редукувалась до залежності від однієї просторової змінної, що дозволило звести розглядувану задачу до вирішення просторово одновимірного диференціального рівняння в частинних похідних з відповідним оператором Лапласа в правій частині. Базовий спосіб розгляду задач – метод скінченних різниць другого порядку точності, засіб розрахунків – відкрита система комп’ютерної алгебри CAS Maxima. В першій задачі розглядається викид токсичної речовини із затопленого контейнера на дні моря, що змодельовано крайовою задачею Робіна (третя крайова задача). Присутність постійного джерела дифундуючої домішки на початку проміжку числового інтегрування дозволила використати прямий двокроковий метод розрахунку; результатом обчислень є часовий розподіл концентрації на поверхні води над контейнером та в її околі протягом однієї доби. В другій задачі розглянуто вилив рідкої речовини поблизу мілкого берега півкруглої форми, що змодельовано крайовою задачею Неймана (друга крайова задача). Нульовий потік домішки на обох краях проміжка інтегрування обумовив методом розв’язання модифіковану непряму схему Кранка-Ніколсона; результатом обчислень є просторовий розподіл граничної концентрації домішки вздовж берегової лінії протягом однієї доби.