Хаос в маятникових системах: робота на здобуття кваліфікаційного ступеня магістра

Abstract

У кваліфікаційній роботі досліджується питання стійкості руху механічних систем з одним ступенем вільності, та, зокрема, перехід до стану хаосу в маятникових системах. У загальному випадку математичні моделі коливальних процесів, в переважній більшості, приводять до нелінійних диференціальних рівнянь і відповідно до нелінійних коливань. Такі системи можуть проявляти досить цікаву та незвичайну поведінку. Для того щоб виявити всі ці особливості коливального процесу в роботі розв’язуються нелінійні рівняння для плоского маятника із затуханням та наявністю зовнішньої гармонічної сили. Показано, що залежно від відношення амплітуди зовнішньої сили до ваги тіла (параметр γ) в системі може відбуватися подвоєння амплітуди, яке зі збільшенням параметра γ повторюється. В результаті при скінченному γ в системі настає стан хаосу, коли повторюваність руху вже не відбувається. Виконані в роботі розрахунки супроводжуються відповідним моделюванням в CKM Maple, одержані моделі для спостереження еволюції елемента площі у фазовій площині, що відображає похибку в початкових умовах, побудовані відповідні графіки залежності кута від часу, які чітко демонструють подвоєння періоду, а також створені відповідні анімації досліджуваних моделей, які дозволяють спостерігати за самим процесом.